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【问题】买粽子的顾客有50个。其中，40个喜欢甜口，31个喜欢咸口，4个两者都不喜欢。有多少人两个都喜欢？

行测中，容斥原理是很多考生比较头疼的问题，因为容斥原理的问题看起来复杂多变，让考生一时找不到头绪，但是这个问题还是有一个非常明显的内在规律。只要考生能掌握这道题的内在规律，看似复杂的问题也能迎刃而解。下面和大家分两种情况来分析一下这个问题。

一种或两种器械包类型

1.解决问题的技巧

当题目涉及的事物属于两个集合时，包含与排除原则适用于条件和问题可以直接带入公式的题目，公式如下:

A∪B = A+B-A∪B

快速解题技巧:总数=两组之和+两组之外的数-两组的公约数。

2.真题示例

【例1】目前50个学生做物理化学实验。如果40个学生做对了物理实验，31个学生做对了化学实验，4个学生两个实验都做错了，那么两个实验都是对的()。

A 27人，B 25人，C 19人，D 10人

【解析】B .直接导入公式为:50=31+40+4-A∩B，A∩B=25，故答案为B。

两到三种类型的器械包

第一步:解决问题

涉及一组三个事件，解题步骤分为三步:①画文氏图；(2)找出图形中各部分的含义，并填入各部分的数字；③代入公式(A∪B∪C = A+B+C-A∪B-A∪C-B∪C+A∪B∪C)求解。

2.解决问题的技巧

三集型问题的解题技巧主要有一个计算公式和维恩图。

公式:合计=所有集合之和-两个集合之和+三个集合的公约数+三个集合之外的数。

3.真题示例

【例2】某学院对部分学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，63人将参加会计师考试，89人将参加六级考试，47人将参加计算机考试，24人将参加所有三种考试，46人将参加两种考试，15人将不参加任何考试。问卷中有多少学生？()

公元前120年至公元前144年

【解析】a .先画一张图，在三组的共有部分填上数字24，再推其他数字；根据各区域的含义得出公式:总和=集合之和-两两集合之和+三个集合的公数+三个集合之外的数= 63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 = 199-{(x+)。根据上面的意思分析，得出x+y+z只属于两个集合之和，也就是本题提到的只考两个的人数，所以x+y+z的值是46；这个问题的答案是120。

【例3】对某公司100名员工的调查发现，他们喜欢看足球比赛、电影和戏剧。其中，58人喜欢看足球比赛，38人喜欢看话剧，52人喜欢看电影，18人既喜欢看足球比赛也喜欢看话剧，16人既喜欢看电影也喜欢看话剧，12人喜欢三者都看。有多少人只是喜欢看电影？

A.22 B.28 C.30 D

【解析】a .根据各区域的含义和应用公式，总数=所有集合之和-两两集合数之和+三个集合的公约数+三个集合外的数。100 = 58+38+52-{ 18+16+(12+x)}+12+0，因为这个问题中没有人不喜欢全部三种，所以三套之外的数为0，解方程:x=14。52=x+12+4+y=14+12+4+y，y=22人。

【例4】某市抽检52种建筑防水卷材产品。其中8种产品嫩度低不合格，10种产品可溶物含量不合格，9种产品接头剪切性能不合格，7种2项不合格，1种产品3项全部不合格。有多少种建筑防水卷材产品全部合格？

A.37 B.26 C.35 D.34

【解析】a .假设三种合格的建筑防水卷材产品都有X种，那么就有8+10+9-7-2*1=52-x，x=34，所以选d。

【例5】某调查公司就A、B、c三部电影的观影情况调查了125人，其中89人看过电影A，47人看过电影B，63人看过电影c，其中24人看过全部三部电影，20人一部都没看过，所以只看过其中两部的人数是()。

A.69 B.65 C.57 D.46

【解析】d .如果只看过其中两部电影的人数是X，那么89+47+63-X-2 * 24 = 125-20，X = 46，选择d。

2、容斥问题50 question，数据资源中数据包含与排除原理的两大经典题型是高频考点之一。

今天，边肖与你分享。

包含和排除问题的两种主要类型

快来和边肖一起开始今天的游学吧~

重要知识点的取舍问题是历年常见的题型，也是给朋友打分的重点。这类题目会给出很多条件(概念)，它们之间存在交叉关系。

比如一个班有30个学生参加物理竞赛，32个学生参加数学竞赛，20个学生两科都参加。这里，物理竞赛是第一条件，数学竞赛是第二条件。满足第一个条件和第二个条件的人数分别为30人和32人。同时参加物理竞赛和数学竞赛的都有20人，说明物理竞赛和数学竞赛有交集。

从上面的描述可以看出，在做题的过程中，了解包含问题的题目特点是非常重要的，在确定题目类型后，要知道如何解决这类问题。包含与排除问题考查考试中的两种题型:二套和三套。这两类题型都有对应的公式和需要我们注意的问题。快来和边肖一起破解这两类问题吧~

真题练习【例1】(江苏，2019)市电视台前一天晚上对150名观众进行了关于A、B频道收视率的调查。其中108人观看了A频道，36人观看了B频道，23人同时观看了A和B两个频道，前一天晚上没有观看这两个频道的被调查观众人数为:

A.17个B. 22个C. 29个D. 38

【答案】c

[解决方案]

第一步，本题考查包含与排除原理中的二集排除原理，用公式法解题。

第二步，设前一天晚上没看两个频道的人数为X，根据二集包含原理的公式，可以列出方程:108+36-23 = 150-X，得到x = 29。因此，选择c选项。

【例2】(2018年联考)某实验室通过评价ⅰ和ⅱ验证产品等级:两次评价均不合格者为次品，仅通过一次评价者为中品，两次评价均合格者为优品。某一批次中只有评价ⅰ合格的产品数量是优等品的两倍，评价ⅰ合格的产品与评价ⅱ合格的产品之比为6 ∶ 5。如果该批产品的不良率为10%，则该批产品的优良率为:

A.B. 15% C. 20% D. 25%

【答案】c

[解决方案]

第一步，考察包含与排除的问题，属于包含与排除两套的范畴。

第二步，将优秀产品的数量赋值为2，那么只有通过评价I的为4，通过评价I的为6。根据6∶5的合格比，可以推断出评价二中合格的是5，只有评价二中合格的是5-2 = 3，那么合格的就是6+5-2 = 9。从10%的次品率，到90%的合格率。不合格产品1件，总数10件。

第三步，该产品的优品率为2/10=20%。

因此，选择c选项。

【例3】某公司员工240人(2020年新疆)，其中订阅A的125人，订阅B的126人，订阅C的135人，订阅A、B的57人，订阅A、C的73人，订阅三类期刊的31人。此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。有多少人订阅B类和C类期刊？

A.公元前57年至公元前64年

【答案】b

[解决方案]

第一步是研究包容和排斥原则。

第二步，分别给出问题中满足两个条件的人数，利用三集标准包含排除原理公式求解。假设有X个人订阅B、C期刊，方程可以列成如下:125+126+135-57-73-X+31 = 240-17，结果是X = 64(尾数也可以用尾数法求得)。

因此，选择选项b。

【例4】(河北，2019)一个班40人，其中数学22人，物理27人，化学25人，只有两科24人，三门多少人？

A.2 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】c

[解决方案]

第一步，考察包含与排除问题，属于包含与排除三集范畴，用公式法求解。

第二步，假设有X个人参加三科比赛。根据三集非标准包含与排除原理公式，可列出方程:40-0 = 22+27+25-24-2x，解为X = 5。

因此，选择c选项。

以上是今天的备考技巧。

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